Ein bisschen Mathematik in Buchform

2002 bewies ein russischer Mathematiker die fast 100 Jahre alte Poincaré-Vermutung, an der sich Generationen von Mathematikern die Zähne ausgebissen hatten. Statt die Lösung wie üblich in einer angesehenen Fachzeitschrift zu veröffentlichen, stellte Grigori Perelman sie einfach ins Internet. Die mathematische Gemeinschaft prüfte Perelmans Argumentation eingehend und Poincarés Vermutung gilt seitdem als bewiesen. Für diese Leistung sollte Perelman die Fields-Medaille (den „Nobelpreis für Mathematik“) und ein Preisgeld in Höhe von einer Million Dollar erhalten. Beides hat er abgelehnt, ebenso wie attraktive Job-Angebote von amerikanischen Universitäten. Perelman gibt keine Interviews und hat sich in seiner Heimat zurückgezogen. Eine tolle Geschichte, aber auch Stoff für ein gutes Buch?

Der israelisch-schweizerische Mathematiker und Journalist George Szpiro veröffentlichte 2008 sein Buch Das Poincaré-Abenteuer. Darin schildert er ausführlich die Biographie Poincarés und wie er zu seiner Vermutung kam. Und außerdem wer daran wie weitergearbeitet hat. Leider erfährt man erst nach knapp der Hälfte des Buches, was der gute Poincaré denn nun vermutet hat. Und ganz ehrlich: anhand der Darstellung im Buch hätte ich es nicht verstanden. Um kurz Wikipedia zum Problem zu zitieren:

In einem dreidimensionalen Raum ist eine Oberfläche dann homöomorph zu einer (nicht begrenzten zweidimensionalen) Kugeloberfläche, wenn sich jede geschlossene Schleife auf dieser Fläche zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
Die Poincaré-Vermutung behauptet, dass dies auch im Fall eines vier­dimen­sio­nalen Raumes gilt, wenn also die Oberfläche durch eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit beschrieben wird, (also z. B. durch eine 3-Sphäre, eine unanschauliche „Oberfläche eines 4-dimensionalen Kugeläquivalents“).

Und zur Veranschaulichung gibt es dieses Bild:

Bild: Salix alba; CC BY 2.5.

Leider muss ich sagen, dass ich das besser finde als die meisten Erklärungen im Buch, die für mathematische Laien teilweise hart sind. Das mag aber auch dran liegen, dass es häufig um geometrische und topologische Probleme geht – und es im ganzen Buch keine einzige Abbildung gibt. Das macht die Dinge eben nicht gerade anschaulich. Außerdem hatte ich mit dem Buch noch ein anderes Problem. Ich fand es an vielen Stellen einfach nur langweilig. Prinzipiell bin ich ja für Erläuterungen zur Wissenschaftsgeschichte immer zu haben. Aber Szpiro meint es mit seiner Chronistenpflicht schon sehr ernst. Jeder Mathematiker, der nur im Buch erwähnt wird, wird mit voller Biographie vorgestellt. Wann geboren, wer sind die Eltern, wo zur Schule gegangen, an welcher Uni, bei wem promoviert. Das zieht sich leider schon sehr.

Zum Schluss hin wird es glücklicherweise interessanter, wenn es um den exzentrischen Perelman geht, der seine Arbeit nach ihrer Veröffentlichung noch auf einer US-Vortragstour vorstellt, seine Kollegen noch bei der Überprüfung seines Beweises unterstützt und sich danach zurückzieht. Und wie andere Mathematiker, welche Perelmans Arbeit ausführlicher darstellen und ebenfalls veröffentlichen, versuchen die Leistung für sich zu beanspruchen. Dieser Teil des Buches ist tatsächlich spannend und lesenswert, der Rest entspricht aber nicht der Werbung auf dem Klappentext, in dem Sylvia Nasar das Buch als „glänzende, wunderbar romantische Odyssee“ bezeichnet.

Als Gegenbeispiel mit ähnlichem Thema möchte ich ein Buch erwähnen, dessen Lektüre schon etwas zurückliegt, das ich aber in durchweg guter Erinnerung habe: Fermats letzter Satz von Simon Singh.

Fermats letzter Satz besagt, dass es für die Gleichung keine ganzzahlige Lösung für n > 2 gibt. Wenn n = 2, entspricht die Gleichung dem Satz des Pythagoras und dafür gibt es viele ganzzahlige Lösungen wie a = 3, b = 4, c = 5. Fermat hat diese Vermutung (wahrscheinlich zwischen 1637 und 1643) an den Rand eines Buch geschrieben, das man in seinem Nachlass fand, und auch behauptet, er habe sie bewiesen: „Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen“.

Falls er tatsächlich einen Beweis fand, hat er ihn entweder nie aufgeschrieben oder er ging verloren. Auf jeden Fall scheiterten an dem Beweis ebenso wie an der Poincaré-Vermutung viele herausragende Mathematiker, bis es Andrew Wiles 1994 tatsächlich gelang. Simon Singh schafft es in seinem Buch, die Geschichte von Fermats letztem Satz wie einen Krimi erscheinen zu lassen, dessen Geschichte er in die Historie der Mathematik im Allgemeinen einbindet und den Leser an den Überlegungen großer Mathematiker teilhaben lässt. Und das gelingt Singh deutlich besser als Szpiro, denn: Es gibt Bilder! Tolle Idee!

Das Buch ist nicht überladen mit Details und man fiebert wirklich mit Wiles mit, der immer wieder mit Rückschlägen zu kämpfen hat und zweifeln muss, ob ihm der Beweis der jahrhundertealten Vermutung wirklich gelingt. Hier würde ich mich tatsächlich dem Klappentext anschließen, der die SZ mit den Worten zitiert: „Dieses Buch ist ein Wunder“.

Ein letztes, ganz anderes Buch, das sich mit Mathematik befasst, habe ich noch auf Lager: Cédric Villanis Das lebendige Theorem.

Villani beschreibt seinen Versuch, die oben erwähnte Fields-Medaille zu gewinnen. Er hatte es sehr eilig, weil sie nur alle vier Jahre an bis zu vier Mathematiker vergeben wird, die aber am 1. Januar des Jahres, in dem sie ausgezeichnet werden sollen, jünger als 40 Jahre sein müssen. Der exzentrische Villani, der immer eine Spinnenbrosche trägt, beschreibt also seinen letzten Versuch, etwas Fields-würdiges hervorzubringen. Und das tut er in einer sehr lebendigen Art und Weise. Ich habe zum ersten Mal annähernd verstanden, wie Mathematiker arbeiten. Man muss die Mathematik, die Villani betreibt, nicht verstehen, um sein Buch gut zu finden. Wer sich schon immer gefragt hat, was Mathematiker eigentlich den ganzen Tag so machen, ist bei  Cédric Villani gut aufgehoben!